Skąd bierze się zasada nieoznaczoności Heisenberga?

Wprowadza się tu dwa pomocnicze operatory Hermitowskie, $\hat X$ oraz $\hat Y$. Następnie oblicza się normę wektora $\vert\Psi>$, na który podziałano tymi operatorami wg przepisu $(\hat X+j\lambda\hat Y)\vert\Psi>$. Norma taka z definicji dowolnej normy musi być nieujemna,

$$<\Psi\vert(\hat X-j\lambda\hat Y)(\hat X+j\lambda\hat Y)\vert\Psi>\ge 0$$ (6.15)

$$\lambda^2<\Psi\vert\hat Y^2\vert\Psi>+\lambda<\Psi\vert i[\hat X,\hat Y]\vert\Psi>+<\Psi\vert\hat X^2\vert\Psi> \ge 0$$ (6.16)

Gdzie $[\hat X,\hat Y]$ jest tzw. komutatorem operatorów, obliczanym jako $[\hat X,\hat Y]=\hat X\hat Y-\hat Y\hat X$.

Aby ostatnie równanie kwadratowe było spełnione dla dowolnego $\lambda$, delta jego musi być niedodatnia. Podstawiając $\hat X=\hat A-<A>$, $\hat Y=\hat B-<B>$ (gdzie $<A>$ jest symbolem wartości średniej), uzyskuje się następujący warunek niedodatniości wyróżnika,

$$\Delta A^2\Delta B^2\ge \frac{1}{4}\vert<\Psi\vert[\hat A,\hat B]\vert\Psi>\vert^2$$ (6.17)

Co podstawiając komutator operatorów pędu i położenia, $[\hat p,\hat x]=-i\hbar$, daje

$$\Delta p^2\Delta x^2 \ge \frac{1}{4}\hbar^2$$ (6.18)

lub

$$\Delta p\Delta x \ge \frac{1}{2}\hbar$$ (6.19)