Jak można łatwo wyprowadzić operator pędu z równania falowego?

Używam równania falowego

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}$$ (6.10)

i zakładam postać rozwiązania jako periodyczną, $\Psi=e^{i(kx-wt)}$. Podstawiam do r-nia falowego:

$$ik \frac{\partial \Psi}{\partial x} = \frac{1}{v^2} (-w^2)\Psi$$ (6.11)

No i teraz, $v=\frac{T}{\lambda}$, $w=\frac{2\pi}{\lambda}$, więc $\frac{w^2}{v^2}=\frac{p^2}{\hbar^2}$. Mnożymy całość przez $\hbar$ obustronnie,

$$i \hbar k \frac{\partial \Psi}{\partial x}=ip \frac{\partial \Psi}{\partial x} = -\frac{p^2}{\hbar} \Psi \qquad\textrm{dzielimy przez p}$$ (6.12)

$$-i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x} = p \Psi$$ (6.13)

$$\hat p \Psi=p\Psi$$ (6.14)

I oto stało sie-gotowe :)) I nie wymaga maglowania przestrzeni hilberta;)