Co to prędkość fazowa i grupowa fali?

(artykuł do ew weryfikacji)

Prędkość fazowa, jest to prędkość rozchodzenia się zaburzenia w fali. Szybkość, z jaką maksimum wychylenia przebywa całą długość fali,

$$v_f=\frac{\omega}{k}=\lambda f=\omega\frac{\lambda}{2\pi}.$$ (5.1)

Zależność $\omega$ od $k$ jest dla fal elektromagentyczncyh następująca,

$$\omega(k)=\frac{ck}{n(k)}$$ (5.2)

gdzie $n(k)$ jest współczynnikiem załamania dla danej liczby falowej $k$. Prędkość fazowa wyraża się zatem jako

$$v_f=\frac{c}{n(k)}$$ (5.3)

i może być większa od prędkości światła w ośrodkach, gdzie $n<1$. Nie oznacza to jednak możliwości przekazu informacji z szybkością większą od światła: sinusoida ma z góry znaną postać na końcu i początku kanału transmisyjnego i żadnej informacji nie można przesłać z jej pomocą.

Szybkość przepływu informacji (np. czoła fali sinusoidalnej po włączeniu dla niej niezerowej amplitudy) określa prędkość grupowa. Takie czoło fali w myśl analizy fourierowskiej składa się z szeregu pomniejszych fal, które skupiają się, tworząc czoło fali sinusoidalnej. Na końcu kanału transmisyjnego takie fale pojawiają się natychmiast, lecz nie można ich wykryć, gdyż w połączeniu z pozostałymi falami fourierowskimi wygaszają się. Dopiero czoło fali, przemieszczające się z prędkością grupową stanowi informację wykrywalną.

Prędkość grupową określa równanie

$$v_g=\frac{d\omega}{dk}$$ (5.4)

Dlaczego tak? Przedstawimy uzasadnienie z ,,Elektrodynamiki klasycznej'' Jacksona. Jeśli wziąć pakiet fal o różnych częstotliwościach i policzyć ich superpozycję (całka po wszystkich częstotliwościach), uzyskamy

$$U(x,t)=\int_0^{\infty}A_k u_k(x,t)dk=\int_0^{\infty}A_k \exp\{j(\omega(k)t+kx)\}dk$$ (5.5)

Wiadomo, że zazwyczaj widma częstotliwościowe sygnałów są skupione w wąskie ,,kapelusze'', można zatem w przybliżeniu napisać szereg Taylora,

$$\omega(k)=\omega_0+\frac{d\omega}{dk}k$$ (5.6)

Wstawiając to do równania na całkowitą falę,

$$U(x,t)=\exp(j\omega_0t)\int_0^{\infty}A_k\exp\left\{jk\left(... ...a_0t)\int_0^{\infty}A_ku\left(x+\frac{d\omega}{dk}t,0\right)dk$$ (5.7)

Ostatnie wyrażenie pokazuje, że grupa fal (nie licząc wyciągniętej przed całkę obwiedni) przemieszcza się z prędkością $v_g=\frac{d\omega}{dk}$.