Czy zmiany energii kinetycznej w różnych układach inercjalnych są jednakowe?

Gdy rozważymy przyspieszające od $v_0$ do $v_1$ ciało, zmianie ulega jego energia kinetyczna: $\Delta E_k=m\frac{v_1^2-v_0^2}{2}$. Jednak gdyby spojrzeć na sytuację z innego układu inercjalnego poruszającego się z prędkością $x$, uzyskamy $\Delta E_k=m\frac{(v_1^2+2v_1x+x^2)-(v_0^2+2v_0x+x^2)}{2}$ co z kolei upraszcza się do $\Delta E_k=m\frac{v_1^2-v_0^2+2v_1x-2v_0x}{2}$, co nie jest równe zmianie energii w poprzednim układzie inercjalnym.

Czy jest to możliwe by zmiany energii były różne? Trudno sobie wyobrazić, by energia uwolniona z paliwa zmieniała się z układem odniesienia, więc coś musimy robić źle. Mianowicie, nie uwzględniamy zwiększenia energii w pozostałych elementach układu, który zachowuje pęd w zadaniu. Np. w przypadku lecącego samolotu, musimy uwzględnić energię wyrzucanych spalin; w przypadku jadącego samochodu musimy uwzględnić przyspieszenie Ziemi.

Jako łatwy do policzenia przykład, weźmy przyspieszający od zera do $V$ samolot. W tej sytuacji, prędkość jego gazów wylotowych wyniesie z zachowania pędu,

$$0(M+m)=mv+MV \rightarrow v=-\frac{M}{m}V$$ (3.20)

gdzie małymi literami oznaczam wielkości związane ze spalinami, dużymi-wielkości związane z samolotem. Obliczmy teraz energię w dowolnym układzie odniesienia, poruszającym się z prędkością $x$, a w przekształceniach podstawimy powyższy wynik na $v$:

$$2E=m(v+x)^2+M(V+x)^2$$ (3.21)

$$2E=m(v^2+2xv+x^2)+M(V^2+2xV+x^2)$$ (3.22)

$$2E=m(v^2-2x\frac{M}{m}V+x^2)+M(V^2+2xV+x^2)$$ (3.23)

$$2E=m(v^2+x^2)+M(V^2+x^2)$$ (3.24)

Widzimy obecnie, że jeśli obliczymy zmianę energii $\Delta E$, to uzyskamy wielkość niezależną od $x$, tj. od doboru układu odniesienia:

$$\Delta E=\frac{m(v_1^2-v_0^2)}{2}+\frac{M(V_1^2-V_0^2)}{2}$$ (3.25)