Wyprowadzenie wzorów używanych w sekcji 2.22

From: "Siriuz" <siriuz@polbox.com>

Jako model pola przyjmujemy pole kondensatora płaskiego. Transformacje pola są ogólne, więc można przyjąć dowolny model, a kondensator daje model wygodny i przejrzysty (przyp. red.).

Bierzemy lepimy dwa układy odniesienia. $S$ oraz $S'$, poruszający się względem $S$ z $v$ w kierunku ujemnych wartości $x$. Umieszczamy w nich kondensator płaski równolegle plaszczyzny xz (dolna okładka ,,+'', górna ,,-'' - ma to znaczenie przy wyznaczaniu np. zwrotu indukcji magnetycznej $B$ z reguły prawej ręki). Okładki naładowane są ładunkem o gęstości $\sigma$. W układzie $S$ pole elektryczne będzie się wyrażało przez

$$E_y = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$ (2.72)

a w $S'$

$$E'_y = \frac{\sigma'}{\varepsilon}$$ (2.73)

W wyniku skrócenia Lorentza ulegnie zmniejszeniu powierzchnia okładek, ale całkowity ładunek pozostanie niezmieniony, a więc gestość ładunku wzrośnie - stąd różnica $\sigma$.

Patrząc z $S$ na $S'$ (kondensator się porusza), pojawia się pole magnetyczne za które odpowiedzialne są prądy powierzchniowe o gęstości

$$K_\pm = \pm \sigma' v \vec i$$ (2.74)

(przez $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$ oznaczymy sobie odpowiednio wersory dla $x$, $y$ i $z$). Stąd, zgodnie z regułą prawej ręki (prawo Ampere'a) otrzymujemy pole magnetyczne

$$B'_z = -\mu \sigma' v$$ (2.75)

Jak wcześniej zauważyliśmy, powierzchnia (a tym samym gęstosc ładunku) ulegnie zmianie o czynnik $\gamma$ transformacji Lorentza

$$\sigma' = \gamma \sigma$$ (2.76)

gdzie oczywiście $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, więc

$$E'_y = \frac{\gamma\sigma}{\varepsilon} = \gamma E_y$$ (2.77)

$$B'_z = -\gamma\mu\sigma v =$$

$$= -\gamma\varepsilon\mu v E_y$$ (2.78)

a poniewaz $\varepsilon \mu = 1/c^2$, to

$$B'_z = -\frac{\gamma v E_y}{c^2}$$ (2.79)

Teraz ustawiamy kondensator równolegle do płaszczyzny xy i otrzymujemy analogicznie

$$E'_z = \gamma E_z$$ (2.80)

$$B'_y = \frac{\gamma v E_z}{c^2}$$ (2.81)

Po zebraniu do kupy mamy

$$E'_x = E_x$$ (2.82)

$$E'_y = \gamma E_y$$ (2.83)

$$E'_z = \gamma E_z$$ (2.84)

$$B'_x = B_x$$ (2.85)

$$B'_y = \frac{\gamma v E_z}{c^2}$$ (2.86)

$$B'_z = \frac{\gamma v E_y}{c^2}$$ (2.87)

Teraz łączymy (pamiętamy że układ $S$ byl stacjonarny, więc nie występowało w nim pole magnetyczne i $B_x = 0$)

$$\vec B' = \frac{\gamma v}{c^2} (E_z\vec j - E_y\vec k) = = \frac{v}{c^2} (E'_z\vec j - E'_y\vec k)$$ (2.88)

Poniewaz $\vec v = v\vec i$, to po przekształceniu

$$\vec B' = -\frac{\vec v \times \vec E'}{c^2}$$ (2.89)

HURRA! :) Zwięźle, łatwo i przyjemnie :) I teraz dobrze jest, raczej na pewno :)