Czy można wyprowadzić równania STW bez założenia stałej prędkości światła, opierając się tylko na zasadzie względności?

From: "Kazimierz Kurz" <kakaz@NOSPAM.poczta.gazeta.pl>

Jak obiecywałem przedstwiam czysto kinematyczne wyprowadzenie transformacji Lorentza, ktore nie korzysta z jakichkolwiek założeń na temat prędkości światła w próżni. Pokazuje ono, że kluczowe dla STW jest zalozenie zasady względności w wersji Galileusza (wszystkie układy inercjalne są równoprawne w tym sensie, że wszelkie formuły fizyczne mają w nich tę samą postać, co uniemożliwia wykrycie ruchu względnego układu.)

Wniosek: ktokolwiek obala STW w zasadzie próbuje obalić właśnie tą zasadę.

Poniższy tekst pochodzi z czasopisma Delta nr 8 z 1992 roku (numer 219) i jest fragmentem artykułu pod tytułem ,,Jeszcze raz o teorii względności''. Autorem przedstawionego rozumowania (i artykułu) jest prof. Andrzej Szymacha.

Porownujemy opis ruchu dokonywany z dwóch, a poźniej z trzech układów odniesienia, nazywanych O, O' i O'' poruszajacych się z prędkościami: $V$-O' w O, oraz $U$-O'' w O'. Oto tresc rozumowania:

(cytat z Delty)

Przyjmijmy, że mamy do czynienia z dwiema identycznymi grupami zegarów zsynchronizowanych w ich układach spoczynkowych, rozmieszczonymi w jednostkowych odstępach (przy wykorzystaniu takiej samej definicji metra przez każdego z obserwatorów). W każdej z rodzin wyróżniamy po jednym zegarze, od którego mierzy się odległosci. Zegary te stanowia początki swoich układów. Przyjmujemy że zegary w początkach swoich układow pokazują zero wtedy, gdy właśnie się mijają.

Zwroty określające znaki współrzędnych wybieramy (na razie) przeciwnie w obu układach. Każdy z układow porusza sie z predkoscia $-V$ wzgledem tego drugiego.

([Na rysunku 2] mamy dwa punkty o współrzędnych A(b,d) i B(a,c) - dopisek mój [zapewne w układzie o osiach czas/położenie-przyp. red.])

Jeśli współrzędne punktu A na rysunku 2 oznaczyć (b,d) a punktu B - (a,c), to jasne jest, że w ogólnosci związek między współrzędnymi czasoprzestrzennymi będzie:

$$x = ax' + bt'$$ (2.33)

$$t = cx' + dt'$$ (2.34)

Zadanie nasze polega na wyznaczeniu tych czterech wspolczynnikow jako funkcji prędkości (obu układów - dopisek mój). Ponieważ sytuacja wzajemna obu układów jest absolutnie identyczna, (tu korzystamy z zasady względności Galileusza - podkreślenie moje) obowiazywać musi również:

$$x' = ax + bt$$ (2.35)

$$t' = cx + dt$$ (2.36)

(dalej są tylko rachunki - dopisek mój)

Podstawiajac (2.35) i (2.36) do (2.33), dostajemy:

$$x = a( ax + bt ) + b( cx +dt ) =$$

$$= ( a^2 + bc )x + b( a + d )t =$$

$$= 1x + 0t$$ (2.37)

(bo musi być x = x - dopisek mój)

co prowadzi do pierwszych dwoch rownan na a, b, c, d:

$$a = -d$$ (2.38)

$$a^2 + bc = 1$$ (2.39)

Dla zegara w początku układu O' mamy stale x'=0; podstawiając x'=0 do (2.33) i (2.34) i dzieląc stronami powinniśmy dostać jego prędkość $-V$, więc

$$b/d = -V$$ (2.40)

Równania (2.38), (2.39) i (2.40) pozwalają wyrazić trzy niewiadome funkcje prędkości a, b i c przez jedną już tylko funkcję $d(V)$ i zapisac podstawową transformację (2.33) i (2.34) w postaci:

$$x = -d( x' + Vt' )$$ (2.41)

$$t = d\left( t' + x'V\frac{ 1 - d^{-2} }{V^2}\right)$$ (2.42)

Teraz możemy zmienić zwrot osi x, bo tak jest na ogół wygodniej:

$$x = d( x' + Vt' )$$ (2.43)

$$t = d\left( t' + x'V\frac{ 1 - d^{-2} }{V^2}\right)$$ (2.44)

Rozpatrzmy także trzeci układ O'' który porusza się z predkością $U$ względem układu O'. Oznacza to, że dla zegara z początku O'' zachodzi $x = Ut'$. Podstawiając te wartosci do (2.43) i (2.44), a potem dzieląc stronami otrzymamy predkość układu O'' względem układu O. Oznaczmy ją $U\oplus V$ dla przypomnienia, że według Galileusza prędkość ta byłaby zwykłą suma. Otrzymamy więc:

$$U\oplus V = \frac{U + V}{1 + UV\left[ \frac{1 - d^{-2}(V)}{V^2}\right] }$$ (2.45)

Wielowiekowe przesądy na temat zachowania się ruchomych zegarów sprowadzają się w swietle naszych dotychczasowych wyników zawartych we wzorach (2.43), (2.44), (2.45) do postulowania, iż nieoznaczona na razie, funkcja $d(V)$ jest tozsamościowo równa $1$. Wzory (2.43) i (2.44) po wstawieniu tam $d=1$ opisują tzw. transformacje Galileusza, będacą podstawą klasycznej fizyki końca XIX w. Nie istnieje jednak żaden argument logiczny, który by zmuszał do przyjęcia $d=1$.

(...skracam nieco komentarze dotyczące zagadnień poruszanych w artykule prof. Szymachy wcześniej, które nie mają związku z wyprowadzeniem)

Jest jednak rzeczą interesujacą, że pełny matematyczny kształt $d(V)$ udaje się wyznaczyć na drodze czystej dedukcji będącej kontynuacją rozważań prowadzących od wzorów (2.33) i (2.34) do wzorów (2.43) i (2.44).

Przyjrzyjmy się wzorowi (2.45). Podaje on prędkość początku układu O'' jako złożenie jego własnej prędkości $U$ i predkosci unoszenia $V$. Gdy jednak rozważyc ruch układu O względem O'', to $U$ będzie prędkoscią unoszenia, a V prędkoscią własną (skrupulatny czytelnik mógłby domagać sie postawienia znaku ,,minus'' przy tych prędkościach, co można zrobić, ale można też powiedzieć, że dla tej części obliczeń zmieniliśmy zwroty wszystkich trzech osi). Powinnismy wiec we wzorze (2.45) zamienić $V$ na $U$ i $U$ na $V$ i mimo to dostać tę samą predkość:

$$\frac{ U + V }{ 1 + UV\left[ \frac{ 1 - d^{-2}(V) }{V^2} \right] }=$$ (2.46)

$$= \frac{ V + U }{ 1 + VU\left[ \frac{1 - d^{-2}(U)}{U^2} \right]}$$ (2.47)

Czytelnik bez trudu odczyta z powyższego wzoru, że sprowadza się on do następującego, prostszego

$$\frac{1 - d^{-2}(V)}{V^2} = \frac{1 - d^{-2}(U)}{ U^2}$$ (2.48)

Jest to fantastyczny wynik! Jako wyprowadzony dedukcyjnie, bez odwoływania się do konkretnego doświadczenia, jest on niezwykle ogólny i ścisły, co najmniej tak dokładny jak samo pojecie ukladu inercjalnego. [...]

Wzór (2.48), mowiący że kombinacja $\frac{1 - d^{-2})}{V^2}$ nie zmieni swej wartości, gdy $V$ zastąpimy przez $U$, oznacza, że kombinacja ta w ogóle od V nie zależy czyli, że jest to pewna uniwersalna stała, niezależna od fizycznego kontekstu. Oznaczmy ją literą, którą najczęściej wybiera się dla dowolnej stalej, tj C.

$$\frac{1 - d^{-2}(V)}{V^2} = C$$ (2.49)

Równanie to bez trudu rozwiążemy wzgledem $d(V)$:

$$d(V) = \frac{1}{\sqrt{1 - CV^2 }}$$ (2.50)

Podstawiając wynik do wcześniejszych wzorów dostajemy ostatecznie:

$$x = \frac{ x' + Vt'}{\sqrt{ 1 - CV^2 }}$$ (2.51)

$$t = \frac{CVx' + t'}{\sqrt{ 1 - CV^2 }}$$ (2.52)

$$U\oplus V = \frac{ V + U }{ 1 + CUV }$$ (2.53)

Rozważania nasze w części kinematycznej były niezwykle ogólne. Przejawia się to w tym, że ostateczny wynik obejmuje swym zasięgiem nie tylko nową fizykę związaną z niezerową wartością $C$, ale w szczegolności także fizykę Galileusza. Podstawienie $C = 0$ we wzorach (2.51), (2.52) i (2.53) przekształca te wzory we wzory klasyczne. Jest to dowód na to, że w całym rozumowaniu nie wystąpiły żadne założenia, które byłyby sprzeczne z fizyką klasyczną. Myśmy sie jedynie powstrzymywali przed pewnymi pochopnymi założeniami, jakie musiałyby być uczynione przez klasykow po to, by uzyskac $C = 0$.

(a wiec nie tylko nie zakładaliśmy ,,stalosci prędkości światła'' czy ,,maksymalnej prędkości oddziaływań, ale wręcz dokonaliśmy mniej arbitralnych założeń niż w fizyce klasycznej, bowiem uzyskany wynik jest ogólniejszy!!! - uwaga moja).

Pozostaje jedynie ustalić, jaka jest liczbowa wartość stałej $C$, gdy czas jest mierzony w sekundach a odłeglości w metrach. Dopiero teraz jest nam potrzebny znów kontakt z doświadczeniem. Jedno wiemy z gory, musi byc to wielkosc bardzo mała, skoro nie zauważono jej przez kilka stuleci!

(koniec cytatu z DELTY)

Koniec rozumowania. Ustalenie wartości C łatwo wykonać, poslugujac się rachunkiem wyznaczajacym siły działające na ładunki poruszające się w równoległych drutach.

W ukladzie związanym z ładunkami dodatnimi druty spoczywaja a poruszaja sie ładunki ujemne i oddziaływują ze sobą siłami Lorentza. W układzie związanym z ładunkami ujemnymi jest dokładnie odwrotnie. Ponieważ układy są inercjalne, siły sa jednakowe ( zasada względności Galileusza), więc możemy wyliczyć wartość $C$, i okazuje się ona być równa $C = \mu_0\varepsilon_0$, co daje liczbową wartość stalej $C$

$$C = 1.1 \cdot 10^{-17} \frac{s^2}{m^2}$$ (2.54)

Stałą $C$ zapisuje się najczęściej (z powodów wynikających z analizy wymiarowej ;-) jako:

$$C = \frac{1}{c^2} \textrm{, gdzie } c = 3 \cdot 10^8\frac{m}{s}$$ (2.55)

Zupełnie przez przypadek (a może nie? skąd się bierze wzór na siłę Lorentza i dlaczego elektrodynamika jest jaka jest?) taką samą wartość ma prędkość swiatła w próżni.

Kozystajac ze wzoru (2.53) łatwo udowodnić, że prędkość $c = \frac{1}{\sqrt{C}}$ w jednym układzie odniesienia jest rowna takze $c$ w innym ukladzie:

$$V\oplus\frac{1}{\sqrt{C}} = \frac{1}{\sqrt{C}}$$ (2.56)

Koniec rozumowania