Jak wyprowadzić $E = mc^2$?

Rozpatrujemy cząstkę, która leci w przestrzeni, a w pewnym momencie emituje w przeciwległych kierunkach dwa fotony o jednakowym pędzie. W konsekwencji, prędkość cząstki pozostanie niezmieniona. Jak jednak sytuacja będzie wyglądać z ukadu, poruszającego się z prędkością v względem układu związanego ze środkiem masy cząstki?

Otóż, na skutek efektu Dopplera, zmienią się częstotliwości wyemitowanych fotonów, a zatem również ich pędy, równe

$$p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{cT}=\frac{hf}{c}$$ (2.21)

Widać, że oryginalnie, częstości były sobie równe. W układzie ruchomym, transformują się jak

$$f'=f\frac{\sqrt{1-u/c}}{\sqrt{1+u/c}}$$ (2.22)

Zatem zasada zachowania pędu to:

$$mv=mv+\frac{hf}{c} \left(\frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}-\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\right)$$ (2.23)

Widać, że dla stałej prędkości v przed i po emisji, równanie nie może być spełnione gdy wypadkowy pęd fotonów nie jest zerowy. Wobec tego trzeba napisać, że

$$p=p'+\frac{hf}{c} \left(\frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}-\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\right)$$ (2.24)

Inaczej mówiąc,

$$p=p'+\frac{hf}{c}\left( \frac{1+v/c-(1-v/c)}{\sqrt{1-v^2/c^2... ...v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}= p'+vE_0/c^2\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (2.25)

Zastąpmy teraz $E_0=2hf$, tj. energię fotonów z układu spoczynkowego, energią z układu ruchomego. Również użyjemy tu przesunięcia dopplera, gdyż dla pojedynczego fotonu energia $E=hf$, więc

$$E_v=hf_1+hf_2=hf\left(\frac{2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) = \frac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (2.26)

$$E_0=E_v\sqrt{1-v^2/c^2}$$ (2.27)

Mamy teraz,

$$(\Delta p)c^2=v\Delta E_v$$ (2.28)

W granicy, gdyby energia fotonów była tak duża, że $p'=0$, tj. cząstka biegnąca z prędkością $v$ by przestała istnieć,

$$pc^2=vE_v$$ (2.29)

Podstawiając $p=m_0v/\sqrt{1-v^2/c^2}$ i oznaczając ,,masę relatywistyczną'' jako $m=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$ (gdzie $m_0$ jest masą spoczynkową, tj. masą w normalnym rozumieniu tego słowa) dostaniemy równanie Einsteina.