next up previous contents
Next: Optyka, fale EM Up: Prąd Previous: Z jaką prędkością płynie   Spis rzeczy

Jaki jest opór na zaciskach opornika nieskończonej kratownicy o bokach złożonych z oporników R?

From: Andrzej Komisarski <andkom.usun@mimuw.edu.pl.usun>

Rozważamy punkty kratowe płaszczyzny (punkty o obu współrzędnych całkowitych). Każdy taki punkt (m,n) łączymy czterema identycznymi opornikami o oporze R z jego sąsiadami (m+1,n), (m-1,n), (m,n+1), (m,n-1). Otrzymujemy w ten sposób nieskończenie wielką kratownicę, utworzoną z identycznych oporników o oporze R każdy.

Zadanie w wersji uproszczonej:

Ile wynosi opór takiej kratownicy pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami kratowymi?

Zadanie w wersji rozszerzonej:

Ile wynosi opór takiej kratownicy pomiędzy dowolnymi dwoma ustalonymi punktami kratowymi?

Zadanie w wersji uproszczonej jest dosyć oklepanym zadaniem, pojawiło się kiedyś na Olimpiadzie Fizycznej, można je znaleźć w wielu zbiorach zadań. Książkowe rozwiązanie wygląda mniej więcej tak (liczymy opór między węzłami $(0,0)$ i $(1,0)$):

Najpierw wyobraźmy sobie, że wpuszczamy do kraty prąd (zabieramy elektrony) przez węzeł $(0,0)$. Natężenie tego prądu wynosi I. Ponieważ kratownica jest symetryczna, więc prąd ten rozpływa się sprawiedliwie po $I/4$ przez każdy z oporników łączących $(0,0)$ z $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ i $(0,-1)$. Opornikiem łączącym $(0,0)$ z $(1,0)$ płynie prąd $I/4$.

Teraz wyobraźmy sobie, że pobieramy z kraty prąd (wpuszczamy elektrony) przez węzeł $(1,0)$. Natężenie tego prądu wynosi $I$. Ponieważ kratownica jest symetryczna, więc prąd ten spływa się sprawiedliwie po $I/4$ przez każdy z oporników łączących $(2,0)$, $(0,0)$, $(1,1)$ i $(1,-1)$ z $(1,0)$. Opornikiem łączącym $(0,0)$ z $(1,0)$ płynie prąd $I/4$.

Teraz wyobraźmy sobie, że jednocześnie wpuszczamy do kraty prąd $I$ przez węzeł $(0,0)$ i pobieramy prąd $I$ przez węzeł $(1,0)$. Obie powyższe sytuacje nakładają się (superponują). Opornikiem łączącym $(0,0)$ do $(1,0)$ płynie teraz prąd $I/4 + I/4 = I/2$. Różnica potencjałów węzłów $(0,0)$ i $(1,0)$ wynosi (prawo Ohma) $RI/2$. Przez kratownicę przepływa prąd $I$. Szukany opór zastępczy kratownicy wynosi (znowu prawo Ohma) $(RI/2)/I = R/2$.

Rozwiązanie to ma wiele wad, nad którymi nie będę się rozwodził. Niektóre są na tyle poważne, że stawiają znak zapytania przy pytaniu o poprawność powyższego rozwiązania. Ponadto nie uugólnia się ono na przypadek wersji rozszerzonej zadania (Ile wynosi opór takiej kratownicy pomiędzy dowolnymi dwoma ustalonymi punktami kratowymi?).

Przejdźmy zatem do wersji rozszerzonej zadania, a co za tym idzie do matematyki. Będziemy liczyć opór między dwoma różnymi punktami o współrzędnych $(a,b)$ i $(c,d)$. Prąd $I$ wpływa do kratownicy w punkcie $(a,b)$ i wypływa w punkcie $(c,d)$. Interesuje nas jakie występuje napięcie między tymi punktami (znając napięcie możemy z prawa Ohma obliczyć opór i na odwrót).

Teraz jeszcze przez moment fizyka. To, do czego będziemy dążyć to wyznaczenie rozkładu potencjału w węzłach kratownicy. (Napięcie to różnica potencjałów.) Niech $V_{kl}$ oznacza potencjał w punkcie $(k,l)$. Chcemy dowiedzieć się ile wynosi $V_{kl}$, w zależności od $k$ i $l$. Szukany opór to $(V_{ab}-V_{cd})/I$.

Prądy wypływające z węzła $(k,l)$ przez cztery oporniki to $[V_{kl} - V_{k(l+1)}]/R$, $[V_{kl} - V_{k(l-1)}]/R$, $[V_{kl} - V_{(k+1)l}]/R$ i $[V_{kl} - V_{(k-1)l}]/R$. ich suma musi być równa prądowi wpływającemu do kratownicy przez węzeł $(k,l)$ z zewnątrz, czyli $V_{kl}$ spełnia warunek


    $\displaystyle \frac{[V_{kl} - V_{k(l+1)}]+[V_{kl} - V_{k(l-1)}]+
[V_{kl} - V_{(k+1)l}] + [V_{kl} - V_{(k-1)l}]}{R}=$  
    $\displaystyle =
\left\{
\begin{array}{lcl}
I & \textrm{dla} & (k,l)=(a,b)\\
-I...
...,d)\\
0 & \textrm{w} & \textrm{pozostałych przypadkach.}\\
\end{array}\right.$ (4.10)

daje to:


    $\displaystyle 4V_{kl} - [V_{k(l+1)} + V_{k(l-1)} + V_{(k+1)l} + V_{(k-1)l}] =$  
    $\displaystyle =
\left\{
\begin{array}{lcl}
IR & \textrm{dla} & (k,l)=(a,b)\\
-...
...,d)\\
0 & \textrm{w} & \textrm{pozostałych przypadkach.}\\
\end{array}\right.$ (4.11)

Tyle wstępu fizycznego dalej trochę matematyki.

Obserwacje

Warunek 4.11 oznacza, że dla wszystkich par $(k,l)$ z wyjątkiem dwóch ($(a,b)$ i $(c,d)$) potencjał w węźle $(k,l)$ jest równy średniej arytmetycznej potencjałów w czterech sąsiednich węzłach.


\begin{displaymath}
V_{kl} = \frac{1}{4}[V_{k(l+1)} + V_{k(l-1)} + V_{(k+1)l} + V_{(k-1)l}]
\end{displaymath} (4.12)

Przekształcając trochę inaczej mamy


\begin{displaymath}
\{[V_{k(l+1)} - V_{kl}] - [V_{kl} - V_{k(l-1)}]\} +
\{[V_{(k+1)l} - V_{kl}] - [V_{kl} - V_{(k-1)l}]\} = 0
\end{displaymath} (4.13)

Obie te równości są dyskretnymi odpowiednikami własności/definicji funkcji harmonicznych w $R^2$. (Niech $U\subset R^2$ otwarty. Funkcja $f:U\rightarrow R$ jest harmoniczna gdy $f''_{xx} + f''_{yy}=0$. Wartość fynkcji harmonicnej w punkcie $(x,y)$ jest równa uśrednieniu $f$ po dowolnym kółku zawartym w $U$ o środku w $(x,y)$.) Zatem nasza funkcja $V:Z^2\rightarrow R$ jest harmoniczna (w dyskretnym sensie) na prawie całym $Z^2$.

Łatwo się przekonać, że warunek 4.11 nie wyznacza wartości $V_{kl}$ jednoznacznie. Warto spróbować na kartce papieru powpisywać w kratki wartości $V_{kl}$ tak, by warunek 4.11 był spełniony. Okaże się, że mamy bardzo dużą swobodę w tym wpisywaniu. Wartości $V_{ab}$ i $V_{cd}$ mogą być zupełnie dowolne. Najwyraźniej brakuje nam jeszcze jednego warunku (ograniczenia).

Tym ograniczeniem jest warunek brzegowy:


\begin{displaymath}
\textrm{$V_{kl}$\ dąży do $0$\ gdy $\max(\vert k\vert,\vert l\vert)$\ dąży do nieskończoności}.
\end{displaymath} (4.14)

Zamiast $\max(\vert k\vert,\vert l\vert)$ można tu było napisać $\vert k\vert+\vert l\vert$ lub $k^2+l^2$ lub jeszcze inne rzeczy. Sens fizyczny tego warunku jest taki, jak nas uczono w szkole: "w nieskończoności potencjał wynosi $0$". W punktach odległych od początku układu współrzędnych potencjał jest bliski $0$. Można się spierać na ile warunek ten jest słuszny (w ogóle rozpatrywanie nieskończenie wielkich obiektów fizycznych, jak nasza kratownica jest podejrzane), jednak bez niego nie ruszymy.

Ostatecznie pozostał problem czysto matematyczny: Znaleźć wszystkie funkcje przyporządkowujące $(k,l) \rightarrow V_{kl}$, spełniające warunki 4.11 i 4.14.

Najpierw pokażemy, że takich funkcji nie jest dużo. Najwyżej jedna.

Załóżmy, istnieją dwie różne takie funkcje $V$ i $V'$. Oznaczmy $W_{kl} = V_{kl} - V'_{kl}$. Ponieważ $V$ i $V'$ spełniają warunek 4.14, więc $W$ też go spełnia. Z tego, że $V$ i $V'$ spełniają warunek 4.11 wynika, że


    $\displaystyle 4W_{kl} - [W_{k(l+1)} + W_{k(l-1)} + W_{(k+1)l} + W_{(k-1)l}] =$  
    $\displaystyle =
\left\{
\begin{array}{lcl}
IR-IR & \textrm{dla}& (k,l)=(a,b) \\...
...=(c,d) \\
0 & \textrm{w}& \textrm{pozostałych przypadkach.}
\end{array}\right.$ (4.15)

co daje $0$ dla każdego punktu $(k,l)$. W jest zatem funkcją ,,harmoniczną'' na całym $Z^2$, niezerową (bo $V\ne V'$), znikającą w nieskończoności (warunek 4.14). Zobaczmy, że takich $W$ nie ma. Skoro $W$ jest funkcją niezerową i spełnia warunek 4.14, to w jakimś punkcie przyjmuje ona niezerową wartość ekstremalną, oznaczmy ją $W_E$. Niech $(m,n)$ będzie takim punktem, że $W_{mn} = W_E$, a zarazem $W_{kl}\ne W_E$ gdy $k<m$. $(m,n)$ jest położonym najbardziej na lewo punktem, w którym $W$ przyjmuje wartość $W_E$ (korzystamy tu z 4.14). Ponieważ $W_E = W_{mn}$ jest równe średniej arytmetycznej z liczb $W_{m(n+1)}$, $W_{m(n-1)}$, $W_{(m+1)n}$ i $W_{(m-1)n}$ i $W_{(m-1)n} \ne W_E$, więc wśród $W_{m(n+1)}$, $W_{m(n-1)}$, $W_{(m+1)n}$ i $W_{(m-1)n}$ występują zarówno liczby większe, jak i mniejsze od $W_E$. Sprzeczność, bo $W_E$ było wartością ekstremalną. Nie ma takich $W$, jakie rozważamy. Nie istnieją dwie różne funkcje $V$ i $V'$ spełniające 4.11 i 4.14. Istnieje co najwyżej jedna taka funkcja $V$.

Spróbujmy poszukać tego $V$. Podejście pierwsze - funkcje tworzące. Rozważmy formalnie napisany szereg


\begin{displaymath}
f(x,y) = \sum_{k,l\in Z} V_{kl}x^ky^l
\end{displaymath} (4.16)

Warunek 4.14 powoduje, że szereg ten ma szansę zbiegać na jakimś obszarze, definiując funkcję $f$. Warunek 4.11 daje nam równość


\begin{displaymath}
4f(x,y) - \left[\frac{f(x,y)}{y} + f(x,y)y + \frac{f(x,y)}{x} +
f(x,y)x\right]=IRx^ay^b - IRx^cy^d.
\end{displaymath} (4.17)

Stąd


\begin{displaymath}
f(x,y)=IR\frac{x^ay^b - x^cy^d}{4 - x - y - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}}.
\end{displaymath} (4.18)

Teraz wystarczy rozwinąć $f$ w szereg potęgowy (potęgi całkowite, zarówno dodatnie, jak i ujemne) ze względu na $x$ i $y$. Współczynniki tego rozwinięcia to szukane liczby $V_{kl}$. Napisać łatwo, rozwinąć trudno. :-(

Spróbujmy zatem czegoś innego: Rozważmy sumę


\begin{displaymath}
F(x,y) = \sum_{k,l\in Z} \frac{V_{kl}e^{ikx}e^{ily}}{2\pi}.
\end{displaymath} (4.19)

Co to za suma? O co tu chodzi?

Zarówno $F(x,y)$, jak i $e^{ikx}e^{ily}/2\pi$ traktujemy jako elementy przestrzeni Hilberta $L^2([-pi,pi]\times[-pi,pi])$ Chodzi o to, że funkcje $e^{ikx}e^{ily}/2\pi$ są w tej przestrzeni ortonormalne. Możemy wykorzystywać naszą wiedzę o przestrzeniach Hilberta i bazach ortonormalnych. Słowo $\sigma$ rozumiemy tu, jako nieskończoną sumę /granicę sum częściowych w sensie $L^2([-pi,pi]\times[-pi,pi])$. Jest ona określona, jeżeli $V \in l^2(Z^2)$, czyli $\sum_{k,l\in Z} Vkl^2$ jest skończona. Ale nieważne, liczmy, jakby wszystkie niezbędne warunki były spełnione.

Warunek 4.11 daje nam równość


\begin{displaymath}
4F(x,y) -[\frac{F(x,y)}{e^{iy}} + F(x,y)e^{iy} + \frac{F(x,y...
...\frac{IRe^{iax}e^{iby}}{2\pi} - \frac{IRe^{icx}e^{idy}}{2\pi}.
\end{displaymath} (4.20)

Stąd


\begin{displaymath}
F(x,y)=IR\frac{[e^{iax+iby}-e^{icx+idy}]}{2\pi[4-e^{ix}-e^{-ix}-e^{iy}-e^{-iy}]}
\end{displaymath} (4.21)

czyli


\begin{displaymath}
F(x,y)=\frac{IR}{4\pi}\frac{e^{iax+iby} - e^{icx+idy}}{2 - \cos x - \cos y}
\end{displaymath} (4.22)

Wystarczy teraz rozwinąć tą funkcję ze względu na $e^{ikx}e^{ily}/2\pi$.

Liczymy:


$\displaystyle V_{kl} = \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{pi}
\frac{F(x,y)e^{-ikx}e^{-ily}}{2\pi} dx dy$     (4.23)
$\displaystyle V_{kl} = \frac{IR}{8*\pi^2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}
\frac{e^{i(k-a)x+i(l-b)y}-e^{i(k-c)x+i(l-d)y}}{2-\cos x - \cos y} dx dy$     (4.24)

Ponieważ liczby $V_{kl}$ są liczbami rzeczywistymi, więc całkę wystarczy liczyć tylko z części rzeczywistej funkcji podcałkowej. Przypominam, że $re(e^{it})=\cos t$ (dla $t \in R$). Dostajemy wynik


\begin{displaymath}
V_{kl} = \frac{IR}{8 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi...
...(k-a)x+(l-b)y]-\cos[(k-c)x+(l-d)y]}{2 - \cos x - \cos y} dx dy
\end{displaymath} (4.25)

Łatwo sprawdzić (wystarcza znajomość wzru na kosinus sumy i różnicy kątów oraz wiedza, jak się całkuje funkcje $\cos(tx)$ na odcinku), że tak wyznaczone $V_{kl}$ istotnie spełnia warunki 4.11 i 4.14.

Szukany opór zastępczy wynosi


\begin{displaymath}
\frac{V_{ab}-V_{cd}}{I} = \frac{R}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}...
...\pi}
\frac{1-\cos[(c-a)x+(d-b)y]}{2 - \cos x - \cos y} dx dy,
\end{displaymath} (4.26)

czyli mówiąc prościej:

Opór między dwoma węzłami, których położenie różni się o m "w poziomie" i o n "w pionie", wynosi:


\begin{displaymath}
R_{mn} = \frac{R}{4 \pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
\frac{1-\cos(mx+ny)}{2-(\cos x + \cos y)} dx dy
\end{displaymath} (4.27)

Kilka przykładowych wartości:


$\displaystyle R_{01}$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{10} = R_{0-1} = R_{-10} = \frac{R}{2}$ (4.28)
$\displaystyle R_{11}$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{1-1} = R_{-11} = R_{-1-1} = 2\frac{R}{\pi}$ (4.29)
$\displaystyle R_{02}$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{20} = R_{0-2} = R_{-20} = R(2 - \frac{4}{\pi})$ (4.30)
$\displaystyle R_{12}$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{21} = R_{1-2} = R_{-21} = R_{-12} = R_{2-1} = R_{-1-2} =$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle R_{-2-1} = R(\frac{4}{\pi} - \frac{1}{2})$ (4.31)

Podobno (nie liczyłem tego osobiście)


\begin{displaymath}
R_{kk} = 2\frac{R}{\pi}[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} +\dots+
\frac{1}{2k-1}]
\end{displaymath} (4.32)

Da się sprawdzić (na przykład opierając się na podanym wyżej wzorze), że $R_{kl}$ spełnia warunek podobny do 4.11:


    $\displaystyle 4R_{kl} - [R_{k(l+1)} + R_{k(l-1)} + R_{(k+1)l} + R_{(k-1)l}] =$  
    $\displaystyle =
\left\{
\begin{array}{lcl}
-2R & \textrm{dla}& (k,l)=(0,0)\\
0 & \textrm{w}& \textrm{pozostałych przypadkach.}
\end{array}\right.$ (4.33)

Warunek ten, wraz z warunkiem symetrii $R_{kl}=R_{lk}=R_{k-l}$ pozwala znając wartości $R_{kk}$ wyliczać wszystkie opory $R_{kl}$ bez liczenia całek (znowu: proponuję spróbować na kartce papieru powpisywać w kratki wartości $R_{kl}$ tak, by warunki te były spełnione).




Teraz mogę napisać o wadach książkowego rozwiązania uproszczonej wersji zadania. Chodzi o to wpuszczenie prądu przez jeden węzeł w kratownicy. Jak było widać, bardzo ważnym założeniem, które nam towarzyszyło było założenie mówiące o tym, że potencjał kraty zeruje się w nieskończoności. Okazuje się, że gdy jedynie wpuszczamy prąd do kratownicy, wówczas założenia tego nie mamy szans spełnić (chyba, że prąd jest zerowy). Ale niech tam. Ważne żeby potencjał ten zbiegałdo 0 w nieskończoności, gdy oba kabelki są do kratownicy podłączone, zarówno ten przez który prąd wpływa, jak i ten przez który wypływa. Tego jednak się nie sprawdza.

Ta sama wątpliwość wypowiedziana trochę inaczej: Zwykle mówiąc o wpuszczaniu prądu mamy na myśli jakieś źródło prądowe, a takie mają zwykle dwa kabelki. Gdzie podłączyć ten drugi? Ano, w osławionej ieskończoności". Ale opór między wybranym węzłem, a ieskończonością" jest nieskończony (liczyłem to kiedyś w jakimś poście, ostatnio podobny rachunek przysłał J.F.).

Warto może byłoby wspomnieć jeszcze o probabilistycznym podejściu do problemu, ale to już nie tym razem.


next up previous contents
Next: Optyka, fale EM Up: Prąd Previous: Z jaką prędkością płynie   Spis rzeczy