Do jakiej prędkości rozpędzić dwa jednoimienne ładunki, aby siła magnetyczna zniwelowała odpychanie?

Nie ma takiej prędkości. W STW każdy układ inercjalny jest równouprawniony i jeśli coś nie zachodzi w jednym, to nie zajdzie i w innym.

From: <hubee0@poczta.onet.pl>
(zredagowane przez autora FAQ)

Zajrzałem w końcu do tych wzorów. Na szczęście dla mnie (i dla Einsteina) wzystko się precyzyjnie zgadza. Pole $E$ czyli powiedzmy elektrostatyczne (chociaż to nie jest dobra nazwa dla przypadku dynamicznego) w otoczeniu poruszającego się jednostajnie ładunku punktowego ma inną postać niż pole coulombowskie. W kierunku prostopadłym do ruchu jest większe! (a w równoległym mniejsze). Obrazowo, wygląda to tak jakby linie sił pola zgęszczały się "po bokach", a rozrzedzały przodu" i tyłu" ładunku. Taki poruszający się ładunek jest więc otoczony nie kulistosymetrycznym ale elipsoidalnym polem, jakby płaszczonyma skutek ruchu (skrócenia Lorenza). Wzór na wartość E w odległości r (w kierunku prostopadłym do ruchu) od takiego ładunku ma postać:

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon r^2} \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (2.62)

wyprowadzone z Maxwella dla takiego ruchu. (Bez czynnika $\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ byłoby to zwykłe prawo Gaussa dla ładunku kulistego. Tutaj uwzględniamy spłaszczenie tego ładunku przez skrócenie Lorentza ( $l'=l_0\sqrt{1-v^2/c^2}$). Skrócenie Lorentza powoduje, że ładunek ulega $\sqrt{1-v^2/c^2}^{-1}$ krotnemu zagęszczeniu w kierunku prostopadłym do ruchu-przyp. red.)

Siła działająca na ładunek ma postać (w zapisie wektorowym):

$$\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$$ (2.63)

(co jest sumą siły Lorentza i siły wynikającej z działania pola elektrycznego-przyp. red.)

Dodatkowo w naszym przypadku:

$$\vec B = \frac{\vec v \times \vec E}{c^2}$$ (2.64)

- tyż z Maxwella... (Pole $B$ pojawia się z potraktowania ładunku jak nośnika prądu i ze skorzystania z prawa Ampere'a) ^2.2

Ponieważ v jest prostopadłe do $E$ i do $B$, a siły od $B$ i $E$ mają przeciwny zwrot, możemy przejść do zapisu skalarnego i mamy:

$$\vec F = q \vec E \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)$$ (2.65)

- z podstawienia (2.64) do (2.63)

Jeśli teraz do (2.65) podstawimy (2.62) to otrzymamy:

$$\vec F_z = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon r^2} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ (2.66)

Czyli coulombowskie oddziaływanie razy poprawka relatywistyczna Oznaczyłem tę siłę jako $\vec F_z$ bo taka działa w układzie OZ (dla obserwatora który widzi poruszające się ładunki). Skoro zgadzamy się że siła $\vec F_e$ (działająca w układzie nieruchomych ładunków) jest taka jak proste oddziaływanie coulombowskie to:

$$\vec F_z = \vec F_e \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ (2.67)

Wynikałoby z tego, że jednak obserwator zewnętrzny mierzy inną siłę niż wewnętrzny. Ale siły przy przejściu do ruchomych układów również się transformują, bo pamiętajmy że siły nie możemy mierzyć bezpośrednio a jedynie jej skutki. Skutkiem działania siły jest zmiana pędu. Chwilowa zmiana pędu cząstki w układzie OZ:

$$\Delta \vec p_z = \vec F_z \Delta t_z$$ (2.68)

(siła razy przedział czasowy w OZ) Tym samym

$$\Delta \vec p_e = \vec F_e \Delta t_e$$ (2.69)

(siła razy przedział czasowy w OE)

$$\Delta t_z = \Delta t_e \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} }$$ (2.70)

- dla OZ czas w układzie OE biegnie wolniej i mamy:

$$\frac{\Delta p_z}{\Delta p_e} = 1$$ (2.71)

Czyli obserwatorzy w obydwu układach zanotują takie same chwilowe zmiay pędu c.n.d.