Co jest źródłem pola grawitacyjnego w ogólnej teorii względności? Jaki jest tego związek z wzorem Newtona?

(artykuł do ew. weryfikacji)

Równanie pola grawitacyjnego w OTW prezentuje się jako:

$$G^{\alpha\beta}=8\pi T^{\alpha\beta}$$ (2.57)

$G$: tensor Einsteina,

$$G^{\alpha\beta}=R^{\alpha\beta}-1/2g^{\alpha\beta}R$$ (2.58)

gdzie

$R_{ab}$: Tensor Ricciego, powstający z tensora krzywizny Riemana, który (w uproszczeniu, bez symboli Christoffela) można wyrazić jako:

$$R_{\alpha\beta\mu\nu,\lambda}=\frac{1}{2} (g_{\alpha\nu,\bet... ...+ g_{\beta\mu,\alpha\nu\lambda}-g_{\beta\nu,\alpha\mu\lambda})$$ (2.59)

gdzie $g_{\alpha\beta}$ to tensor metryczny. Teraz

$$R_{\alpha\beta}=R^\mu_{\alpha\mu\beta}=R_{\beta\alpha}$$ (2.60)

$$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$$ (2.61)

$T$: tensor energii-pędu (o którym już tu było wiele mówione), jest to strumień $\alpha$ pędu przez $\beta$ powierzchnię. W szczególności $T^{00}$ wyraża gęstość energii (strumień ,,pędu czasowego'' przez powierzchnię stałego czasu).

Z tego można sobie obliczyć teraz jak z tensora $T$ wynika zakrzywienie czasoprzestrzeni schowane w tensorze $G$. W szczególności, dla słabych pól grawitacyjnych, w tym równaniu tensorowym dominuje jeden tylko człon ($T^{00}$) i powstaje wzór Newtona.

Rachunku tensorowego (kontrakcje, reguły Einsteina, twierdzenia do obliczeń, różniczkowanie, przechodzenie między bazą kowariantną/kontrawariantną itd.) można nauczyć się z tego co ja, jest w sieci publicznie dostępna książka ,,Introduction to tensor calculus and continuum mechanics''.